函数解析
解析学の基本事項
函数解析でこれからよく使う性質や証明の基礎基本を通した考え方をまとめておきます. 必要であれば, ここは飛ばしていただいても大丈夫です. 内容としては, 連続関数の性質や数列の収束の基本だけです.
Banach 空間の定義
線型空間の定義から始まって, 有限次元, 無限次元へと展開し, そこへノルムを入れて, 距離空間へと広げました. その距離に関して完備となる空間として, もっとも丁寧かつゆっくり時間をかけて Banach空間を定義しました. 必要であれば全部見ていただければいいですが, 適宜飛ばしてもらっても構いません.
Banach 空間の例
Banach 空間を定義はしましたが, いくつかの例を紹介します. その中で, できるだけ, 函数解析とは何を考える分野なのかを少し紹介もしています. 少し, 証明が難しいのでゆっくり進んでください.
線型作用素の連続・有界
Banch空間を定義域とするような線型写像について定義し, 議論していきました. そういった写像を線形作用素といい, 線形作用素は連続性と有界性が一致することを示しました. 今後この議論はよく使います.
逆作用素・Banach環
Banch空間上の線形作用素は逆写像によって逆作用素をていぎすることで環に拡張されることを確認しました. そういったBanch環は, 作用素論では中心的な役割を果たします. 今後, これを具体的に取り上げることは少ないです.
一様有界性定理
函数解析における三つの中心的な定理を今後1つずつ取り扱っていきます. かなり難しい議論もあるので, 焦らず進んでください.
開写像定理
函数解析における三つの中心的な定理の二つ目です. 開写像については聞きなれないかもしれませんが, 動画内で定義も述べているので安心してください.
閉グラフ定理
ある函数に導函数を対応させるものは, 線形作用素ですが連続性はありません. こういった閉グラフとよばれるものをある意味連続に捉えなおすようなことを学びます. 函数解析はこれで一区切りです. お疲れさまでした.